Comentario a: ¿Podemos decir que una empresa ha perdido el 800% de sus beneficios?

Esta entrada es un comentario en el blog Malaprensa de Josu Mezo. Para una mejor comprensión lean la entrada original: ¿Podemos decir que una empresa ha perdido el 800% de sus beneficios?

Estimado Josu:

Primero respondo a dos preguntas que planteas en la entrada:

¿Si una empresa pasa de ganar 10 millones a perder 70 millones, puede decirse que sus beneficios han disminuido el 800%? 
Es correcto aunque tener una disminución de beneficios de más del 100 % es contraintuitivo. Parece más adecuada la expresión que me comentaste en Twitter de indicar que las pérdidas son equivalentes a 7 veces los beneficios del años anterior. Aunque a continuación explico que es lo mismo desde un punto de vista matemático, es más correcto lo que tú indicas que calcular un porcentaje mezclando beneficios y pérdidas.
¿Y si pasa de perder 10 millones a ganar 70 millones se puede decir que sus beneficios han aumentado el 800%?
No. Luego aclararé que cuando se parte de pérdidas los resultados son absurdos y crean confusión.
En la siguiente tabla se representan las variaciones entre el beneficio inicial y el beneficio o la pérdida final, aplicando la fórmula indicada en tu entrada, con el valor absoluto en el denominador: 

[(VF-V0)/abs(V0)]*100


La siguiente gráfica refleja los valores de la tabla. Con los valores finales (beneficios y pérdidas) en el eje horizontal y las variaciones en el eje vertical. Cada línea corresponde a un beneficio inicial:


Los beneficios implican valores positivos y las pérdidas negativos. 

Cuando se pasa de beneficios iniciales a beneficios finales los resultados son fácilmente interpretables. Por ejemplo, si partimos de un beneficio inicial de $150 y el beneficio final es $300 la variación es del 100 %, es decir, se han multiplicado por 2 (resultado de: 100 % + 100 %) los beneficios. Si partimos de $75 con el mismo beneficio final, $300, la variación es del 300 %, es decir, se han multiplicado por 4 (100 % + 300 %) los beneficios. Siempre que se parta de un beneficio inicial menor se consiguen variaciones mayores para beneficios finales iguales y mayores a los valores iniciales. Para beneficios finales menores al beneficio inicial las variaciones son negativas, es decir, se pierde beneficio respecto del año anterior. Cuando el valor final es cero todas las variaciones son del -100 %, es decir, se ha perdido el equivalente al beneficio del año anterior. La característica principal cuando se parte de un beneficio inicial y se llega a un beneficio final, ya sea este último mayor, menor o igual que el inicial, es que los beneficios iniciales menores implican variaciones mayores a igualdad de beneficio final, es decir, las rectas que representan las variaciones entre beneficios iniciales y finales siempre estarán dispuestas de tal manera que las que representan a las de menor beneficio inicial quedan por encima de las que representan un mayor beneficio inicial. Todas las rectas convergen en el valor -100 % del eje vertical, es decir, cuando el valor final es cero (no hay beneficio ni pérdida) y se ha perdido todo el beneficio respecto del año anterior.

Cuando hay beneficios iniciales y pérdidas finales los resultados no son tan fácilmente interpretables ni intuitivos. Por ejemplo, cuando el beneficio inicial es $300 y la pérdida final -$300 la variación es -200 %, se ha perdido el equivalente al beneficio del año anterior, es decir, si multiplicamos el beneficio del año anterior por -1 (100 % - 200 %) obtenemos la pérdida final. Cuando el beneficio inicial es $75 y la pérdida final -$300 la variación es -500 %, es decir, la pérdida es 4 veces (100 % - 500 %) los beneficios del año anterior. Parece como si habiendo ganado mucho el año anterior la pérdida del año siguiente fueran menos importantes, cuando la intuición nos diría lo contrario. En esto último es donde yo también me pierdo entre relativo y absoluto. De ahí uno de mis comentarios donde indicaba que se debían comparar cifras absolutas junto a las relativas y comparar situaciones equivalente. Pero está claro que se da la impresión de que perder más viniendo de una situación de grandes beneficios es menos malo que hacerlo de una situación de pequeños beneficios.

Donde se pierde toda la lógica es cuando la magnitud inicial es una pérdida. Veamos la siguiente tabla y su gráfica asociada:



Con una pérdida inicial y al pasar a un valor cero (no hay beneficio ni pérdida) el año siguiente, se consigue una variación del 100 %, es decir, se ha recuperado toda la pérdida. Eso hace que no sean comparables las variaciones con las variaciones calculadas con beneficio inicial, ya que esas variaciones eran iguales al -100 % cuando el valor final era cero. Pero lo que desconcierta es que las rectas que representan variaciones entre magnitudes con beneficios iniciales y pérdidas iniciales se cortan. Lo anterior hace que los resultados sean absurdos. Fijémonos que cuando la pérdida inicial es -$125 y el beneficio final es $167 la variación es de 233 %, que es igual a cuando el beneficio inicial es $50 con el mismo beneficio final. Alguien que viera la tabla con la variación y el beneficio final no podría saber cuál fue el beneficio el año anterior. ¡No puede ser! No es lo mismo pasar de perder $125 a ganar $167, un incremento absoluto de $292, que pasar de ganar $50 a ganar $167, un incremento absoluto de $117. El error viene de considerar el valor absoluto en el denominador ya que eso implica que a mayor pérdida mayor valor del denominador y menor variación.

Por último comentar que para valores muy pequeños de valor inicial las variaciones son exageradamente altas. Eso implica que cuando las cifras en juego son muy pequeñas se deba ser muy cuidadoso con las variaciones ya que estas pueden ser exageradamente grandes y carecer de sentido. Otro tema, pero ya sería más financiero, es si la variación de beneficios por sí sola tiene algún valor significativo. Pero eso para otro comentario.

Nota: Los cálculos se han hecho sin decimales para una mejor comprensión de los resultados. 

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